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commencé par le remarquer, on se sert implicitement 
dès le début du premier livre pour l’étude des propriétés 
des angles, donne à la fois à ce début une base et un sens 
logiques et en simplifie les propositions. La simplification 
se fait sentir dans des propositions capitales telles que Ja 
somme des trois angles d'un triangle égale à deux droits, qui 
s'établit une des premières, et indépendamment du pos- 
tulatum, comme nous le ferons remarquer plus loin. Pour 
le moment, c’est l’ordre logique pris dans tout son 
ensemble qu'il convient d'envisager; et cela nous con- 
duit à établir en tout premier lieu deux points capitaux, 
savoir : 4° la démonstration du théorème de la parallèle 
unique, ou du Postulatum d’Euclide; 2 celle du théorème 
que la droite est la plus courte distance entre deux 
points. | 
‘7. DÉMONSTRATION DU « PosTuLATUM D'EUCLIDE ». — 
XI. Deux droites de l’espace de méme direction ne se ren- 
contrent pas. Car si elles se rencontraient, on pourrait 
par un même point mener deux droites différentes ayant 
la même direction, ce qui est impossible par définition, 
la direction définissant la droite. 
XII. Deux droites d’un plan de directions différentes se 
rencontrent. 
Lemme préliminaire (fig. 1). Quand une droite D d’un 
plan coupe en un point À un contour fermé (*) C donné, 
(*) Ce sera ici une suite de points telle qu’en partant de l’un quel- 
conque d’entre eux et passant par tous les autres, on revient au 
point de départ, sans d’ailleurs avoir d’abord repassé sur aucun 
autre point. 
