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hauteurs de deux rectangles étant dès lors toujours com- 
mensurables entre elles, 1l s'ensuit que rigoureusement 
(par la division des rectangles en rectangles élémentaires, 
égaux par superposition) deux rectangles de même base 
sont entre eux comme leurs hauteurs; de même hauteur, 
entre eux comme leurs bases; que deux rectangles sont 
donc entre eux comme les produits de leurs bases par 
leurs hauteurs ; que la mesure d’un rectangle est le produit 
de sa base par sa hauteur; d’un triangle, la moitié du 
produit de la base par la hauteur. | 
La proposition XVII est donc équivalente à celle-ci : 
Le carré de l'hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à 
la somme des carrés des deux autres carrés. 
XVII. Dans un triangle, un côté est plus petit que la 
somme des deux autres. 
Démonstration par la décomposition du triangle en 
triangles rectangles, en abaissant la perpendiculaire d’un 
sommet sur la base opposée. 
XIX. La ligne droite AB est le plus court chemin entre 
deux points AB de l’espace. 
Un contour quelconque tracé de À à B étant une suite 
d'éléments rectilignes, AM,, MM, MM;, ..…. M,B, en 
menant les droites AM,, AM, AM,, AB, on aura une 
suite de triangles, qui donneront 
AB € AM, + BM, 
BM, < MM, + BM, 
BM, € M, M, + BM,: 
d’où 
AB 1 A1 cr M,M, °c M,_M, SF BM,. GC. Q. F. D. 
