CATT } 
Il résulte des déductions précédentes que le « carré de 
lhypoténuse » n’est autre chose que. la relation primi- 
tive et fondamentale entre les distances, et doit donc être 
présenté dès les débuts de lexposé élémentaire de la 
géométrie. Des propositions XVIIL, XIX se déduisent 
immédiatement toutes celles qui concernent ou impliquent 
des inégalités entre longueurs, telles que « l’oblique plus 
grande que la perpendiculaire {*) », l'égalité des triangles 
à trois côtés égaux chacun à chacun, etc. 
9. Ce qui précède établit que les propriétés de la 
parallèle unique: (postulatum d’Euclide) et de la droite 
plus courte distance sont des conséquences de la notion 
primitive et nécessaire de direction, aussi inéluctable que 
celle de distance, et dont l’absence de mention explicite, 
alors qu’en fait on s’en sert dès le début du premier livre 
des éléments, ce qui à lui seul suffirait à justifier sa réalité 
et sa portée, est la raison d’être du caractère irrationnel 
de l'exposé, jusqu'ici classique, de ces éléments. 
Si, muni des résultats qu'on vient d'acquérir, on relit 
cet exposé classique, on verra non seulement beaucoup 
(*) Il est à remarquer que les relations d’inégalité se déduisent ici 
de la connaissance (l’une relation d'égalité rigoureuse qui permet de 
déterminer rigoureusement éous les cas. C’est ainsi que l’oblique 
< la perpeniliculaire n’est une relation vraie que si l’oblique s’écarte 
du pied de la perpendiculaire au moins d’une quantité de l’ordre 
Ve(e = inf. pet. absolu). Pour des écartements n:(n nombre fini), 
l’oblique est égale à la perpendiculaire. Cette remarque s'applique 
d’une manière essentielle dans la question de la tangente au cercle, 
et dans celle même de la collection des triangles rectangles que l’on 
obtient quand, étant donné un côté de l'angle droit, on fait varier le 
second côté. 
