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de propositions se simplifier, mais on en rencontrera qui 
reçoivent pour la première fois dans la géométrie du 
plan une démonstration : telle est celle que par un point 
donné, hors d’une droite, on peut mener une perpendiculaire 
sur cette droite, et une seule. 
On constatera aussi que des définitions classiques sont 
vicieuses et doivent être transformées, telle celle de 
la parallèle à une droite, qu'on définit, avec Euclide : 
droite d’un plan qui ne rencontre pas cette autre droite 
du plan. On à maintenant le droit de restituer à la 
parallèle la vraie définition que le sens commun lui donne 
de lui-même, savoir celle de droite de méme direction ; et 
elle s'applique alors à la parallèle dans l’espace (confor- 
mément à une notion pratique que l’on applique et qu’on 
appliquera toujours instinctivement), abstraction faite de 
toute introduction d’un plan. 
L'idée d'introduire la considération du plan dans la 
définition de la parallèle, en passant par l’idée de droites 
qui ne se rencontrent pas, est à la fois illogique, parce 
qu’elle renverse l’ordre naturel de la déduction, et inutile 
et incommode parce que, dans maintes parties fonda- 
mentales des éléments, comme, par exemple, dans la 
définition du parallélogramme, dans la démonstration de 
la somme des angles d’un triangle égale à deux droits, 
c’est de la seule notion de direction qu’on à besoin, et 
c’est la seule que lesprit y envisage réellement. Quand, 
pour démontrer ce dernier théorème capital, on mène 
(fig. 4) par le sommet A d’un triañgle une parallèle AA’ 
à BC, on n’a, en effet, en vue que la notion de direction, 
c’est-à-dire celle de l'égalité des angles alternes internes; 
et cette égalité est bien une simple conséquence immé- 
diate de cette notion de direction, notion sur laquelle 
