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on s'était déjà uniquement appuyé, sans le dire, dès les 
premières propositions du premier livre. On n’a pas 
du tout à s'occuper 1e1 de l'idée que AA’ ne rencontre pas 
BC; ceci sera une propriété subséquente, se rapportant, 
non pas aux relations d’angles, lesquels sont formés par 
des lignes émanant de points donnés, mais bien à une 
C ! A! 
B A. 
Fig. 4. 
question de rencontre de lignes menées par des points 
donnés. C’est donc à la fois une erreur de méthode et 
une erreur de principe de dire, comme on l’a toujours 
enseigné, que le postulatum d’Euclide et l'égalité des 
trois angles d’un triangle à deux droits sont des vérités 
substituables. 
10. Nous croyons les notions de principe et les 
théorèmes fondamentaux présentés dans cette note néces- 
saires et suffisants pour écrire, d’après la marche qui 
vient d’être exposée, el cela en simplifiant d’une manière 
notable la voie peu logique et contournée qu’on à adoptée 
depuis si longtemps sous l’influence de l’omission par 
Euclide de la véritable définition de la ligne droite, un 
traité élémentaire de géométrie (*). 
(*) La définition de la ligne droite par la direction permettrait 
d’ailleurs aussi de restituer maintenant la marche primitive et 
élégante d'Euclide pour les théorèmes à inégalités; mais il nous 
semble qu’au point de vue de la rigueur (voir la note du $ 9), il vaut 
mieux passer d’abord par la relation fondamentale des distances 
qu’exprime le carré de l’hypoténuse. 
