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En revenant à l’aphorisme de Riemann sur l’espace, 
on voit donc ou bien que cet aphorisme, comme on l’a 
montré plus haut, n’a aucun sens; ou que s’il a un sens, 
ce sens est une erreur qui n'est autre que celle des 
exemples de M. Mansion. Il est évidemment plus prudent 
de supposer que Riemann à commis une erreur qu’un 
non-sens. Nous dirons donc que l'erreur commune à Rie- 
mann et à M. Mansion consiste en ce que, dans la seconde 
partie de leurs phrases-formules, ils appliquent, sans s’en 
apercevoir, le terme limité ou indéfini à un autre objet 
que celui dont il est question dans la première. Ce 
second objet, c’est longueur de ligne; le premier, c’est, 
pour Riemann l’espace, pour M. Mansion circonférence ou 
sphere. 
On constate aussi par là que les exemples proposés 
par M. Mansion étaient aussi mal choisis que possible 
pour montrer que Riemann pouvait bien considérer 
l’espace comme fini, puisque la circonférence et la 
sphère le sont; attendu que le caractère fini de la circon- 
férence et de la sphère consiste en ce qu’elles s’obtiennent 
par l’adjonction d’un nombre fini de grandeurs finies de 
même espèce, longueurs de ligne ou quantités de surface; 
tandis qu’en appliquant cette règle à l’espace on voit au 
contraire qu’il ne résulte de l’adjonction d’aucun nombre 
fini de grandeurs finies de même espèce, lesquelles sont 
. ici des volumes. Au lieu de sa déclaration de principe, 
Riemann aurait donc dü, nous semble-t-il, formuler la 
suivante : L'observation nous apprend que l’espace réel 
n’est pas fini, c’est-à-dire nous apprend qu'il est infini 
1904. — SCIENCES. 53 
