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valeurs positives ou nulles de m, n. Les coefficients yo; 
el ÿ22 sont des constantes par rapport à z, mais peuvent 
dépendre des périodes. On conçoit que la plus ou moins 
grande simplicité des formules dépendra de la manière 
de choisir ces coefficients. On devine aussi que les 
propriétés de la rappelleront celles de F. 
L'idée très simple et très naturelle dont je viens 
d'indiquer le principe a été développée dans un mémoire 
étendu par F. W. Barnes (*. M. Beaupain s’est proposé 
de faire connaître les résultats auxquels est arrivé 
M. Barnes, mais en reprenant les démonstrations sous 
une forme personnelle. 
C’est par M. Beaupain que j'ai donc eu connaissance 
des formules de M. Barnes, et J'ai été immédiatement 
frappé par un vice de forme évident de certaines d’entre 
elles. 
En effet, certaines relations entre les périodes 4 et wo 
devaient changer de forme analytique quand on y rem- 
plaçait 1 par — w4 Où wo par — w9. Mais ce fait, par- 
faitement explicable (comme nous l'avons vu tout à 
l'heure) quand 1l s'agissait de s(z), ne peut plus se Jjus- 
tifier pour la fonction l double. On le reconnaît immé- 
diatement. Le produit infini qui définit F, ne cesse de 
converger que si le rapport wo : w, est réel et négatif. Done, 
si l’on considère F, comme fonction de w4 et qu'on mène 
par l’origine une demi-droite passant par le point 
fixe (— wo), demi-droite que nous pouvons appeler la 
coupure (— w2), la variable w, ne pourra pas traverser 
cette demi-droite, mais celle-ci ne partage plus le plan 
(*) Philosophical Transactions, série A, vol. 196, pp. 265-387. 
