( 883 ) 
en deux parties, et par conséquent, la variable w, peut 
décrire tout le plan sans traverser la coupure. Il n’y a 
donc plus qu’une seule fonction analytique de w, dans 
tout le plan. Par suite, l’existence de systèmes analy- 
tiques différents dans des régions différentes du plan est 
contradictoire. 
M. Beaupain a tenu compte de cette observation, et le 
mémoire qu’il nous présente aujourd’hui apporte donc sur 
ce point d'importantes corrections à celui de M. Barnes. 
Toutefois, je ne me serais pas rallié aussi facilement 
que lui aux définitions et aux idées de M. Barnes; et, 
obligé que je suis de réserver ma manière de voir, on 
voudra bien excuser la longueur de ce rapport. 
Je vais reprendre aussi brièvement que possible les 
définitions de M. Beaupain. 
Foncrion L' simPLe (chapitre I). — M. Beaupain définit 
la fonction [, ou fonction F simple par l'équation (que 
J'appellerai fondamentale) 
D. . . . D'logFi(zlo) = Ÿ 
et 1l détermine les deux constantes d'intégration par les 
conditions (que J'appellerai accessoires) 
Ming nee nr A ER Eco — 1. 
J'observe que la fonction F, se ramène immédiatement 
à l’Eulérienne ordinaire F par la relation 
ARS 
(1). . _. Fifzlo)=-e ? r (£} 
