( 884 ) 
donc les calculs que fait M. Beaupain dans son premier 
chapitre ne peuvent revendiquer d’autre intérêt que celui 
de servir d'introduction à ceux des chapitres suivants. Je 
ne crois pas non plus qu'ils aient une autre prétention. 
Mais la définition de F, appelle quelques observations, 
d'autant plus nécessaires qu’elles sont déjà le principe de 
toutes les suivantes. 
Que veulent MM. Barnes et Beaupain en définis- 
sant F,? C’est apparemment obtenir une intégrale cano- 
nique de l’équation (P), réunissant toutes les simplifi- 
cations possibles. Le choix, dit M. Beaupain (mais en 
parlant de Fo) à la fin du n° 9, le choix s’impose de lui- 
même si l’on ne veut rien sacrifier de la simplicité de la 
théorie. 
Si l’on se place à ce point de vue, il_est clair que la 
fonction r| =) a tous les avantages sur celle de M. Barnes. 
C’est une fonction uniforme de la période, tandis que Fr; 
est, comme le montre l’équation (HT), une fonction mul- 
tiforme de w présentant des singularités logarithmiques. 
Cette complication provient tout entière des conditions 
accessoires (II) qui, sous une trompeuse apparence de 
simplicité, font perdre à l'intégrale le caractère homogène 
en z et w de l’équation fondamentale I. A mon sens, les 
conditions accessoires qui devraient remplacer les con- 
ditions (Il) sont : 
, es 2l',(z) = 1, ONCE 
et l’on en tirerait 
