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d'où 1l résulte que les angles (d', a), (a', d) sont les com- 
pléments des angles d’asymptotisme correspondant aux 
longueurs a et d (*). 
M. Barbarin démontre les relations analogues, nou- 
velles, croyons-nous, 
1 1 
Chb— ——, Che — ———— 
sin(u’, b) sin (d”, c) 
et bien plus remarquables, car elles prouvent que CE est 
l’asymptote de AB, CF celle de AD {premier théorème de 
Barbarin) (**). Il prouve ensuite un autre théorème non 
(*) Science absolue de l’espace, n° 34. De propos délibéré, nous 
employons ici des notations générales qui peuvent être comprises de 
tout le monde, sans recourir aux notations spéciales de Lobatchefsky, 
SaVOIr : 
Ua) = (d’, a)... M{d) =#a8 4) Nb (a D PAIE Ar 
De même, nous désignons par le terme d’asymptole ce que Lobat- 
chefsky appelle une parallèle. L'emploi de ce dernier terme, qui 
éveille invinciblement l’idée d’une parallèle euclidienne, l’introduc- 
tion arüficielle dans toutes les formules des angles [T de parallélisme 
lobatchefskien (ce qui provient de ce que Lobatchefsky ne connait pas 
la notation riccatienne des fonctions hyperboliques ont rendu très 
pénible la lecture des écrits du grand géomètre de Kazan. C’est le 
complément des angles [T qui aurait dû être introduit dans les 
formules sous le nom d'angle d’asymptotisme. Une longueur x et 
l'angle X d’asymptotisme correspondant sont liés par les formules 
très simples : 
Shz = tang XThT = SM C hr CSN 
bien connues de tous ceux qui se sont occupés des relations entre les 
fonctions hyperboliques et les fonctions cireulaires. 
(**) Engel, dans une note de sa traduction de Lobatchefsky 
(LOBATCHEFSKY, Zwei geometrische Abhandlungen, Leipzig, Teubner, 
1899, p. 256), donne le premier théorème de Barbarin. Le mémoire 
de celui-ci a été présenté à l’Académie plus d’un an avant la publica- 
tion de la traduction d’Engel. 
