(31) 
moins important : Si l'on porte sur CE, CF des longueurs 
égales CN, CM, les perpendiculaires en Nn, Mm, abaissées 
de N sur CB, de M sur CD, se coupent en un point w de 
la diagonale CA (second théorème de Barbar in). 
Il en établit un troisième, savoir que 
cos À — ThDE, 
et comme évidemment, on a aussi, pour la même raison, 
cos À — ThBF, 
il en résulte DE — BF. 
Au moyen de ses théorèmes et de ceux de Bolyai, 
M. Barbarin résout sans peine les problèmes fondamen- 
taux suivants : 1. Construire l’asymptote CE de AB par 
C, ou les angles (a', d), (a', b), (a',c). 2. Construire ABCD, 
connaissant c et(a', b). 3. Construire b connaissant l’angle 
(a', b), tel que DO nEUl (a', b). 4. Construire ABCD, con- 
naissant a et c. 5. Construire CFB, si les angles en sont 
donnés. 6. TR ABCD, connaissant a et d. 
7. Trouver x — AC, d’après la relation Sh?x — Sh?a + 
Sh?d. 8. Construire ABCD connaissant a et A. 9. Con- 
struire ABCD, connaissant A et b ou c. 10. Trouver la 
perpendiculaire commune à deux droites qui ne sont pas 
asymptotes. 
Si, en particulier, (a', b) = 17, on trouve par le pro- 
blème 5 la valeur u telle que Shu — 1. Si l’on suppose 
que dans toutes les formules relatives au quadrilatère 
trirectangle on remplace tous les sinus hyperboliques 
par l'unité, on déduira de ce qui précède le moyen de 
construire æ ou y, quand y ou x sont donnés et que l’on 
suppose entre x et y l’une des deux relations 
Shxz = Chy, Shzx Chy = 1. 
