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Il résulte de là que l’on peut introduire dans les for- 
mules relatives au quadrilatère trirectangle partout des 
Sh ou des inverses de Sh, au lieu des Ch, et réciproque- 
ment; les constructions possibles avant la substitution 
seront encore possibles après et inversement. L'auteur 
expose ensuite une construction approchée dela constante 
lobatchefskienne, puis étend aux polygones réguliers 
lobatchefskiens ce qu'il a dit antérieurement sur les poly- 
gones réguliers riemanniens. 
Le reste du chapitre est consacré à la théorie des 
coordonnées, de la ligne droite et du cercle en géométrie 
non euclidienne. M. Barbarin a étendu aux coordonnées 
obliques ce que M. Gérard à exposé au moyen des 
coordonnées rectangulaires dans sa belle thèse Sur la 
géométrie non euclidienne. Les formules en coordonnées 
obliques sont plus générales, mais souvent moins élé- 
gantes que les formules en coordonnées rectangulaires. 
2. Le second chapitre est consacré à la réduction de 
l'équation générale du second degré et à la classification 
des lignes qu’elle représente. Le problème de la réduc- 
tion ne peut guère différer, analytiquement parlant, de ce 
que l’on connait pour la géométrie analytique euclidienne, 
ou plutôt pour les formes quadratiques ternaires. Mais 
au point de vue géométrique, la classification des lignes du 
second degré conduit à des résultats remarquables. En 
géométrie riemannienne, on ne trouve qu’un genre de 
courbes, des ellipses avec le cercle comme variété. L'espace 
lobatchefskien est beaucoup plus riche en courbes du 
second degré. Les courbes à centre réel sont des ellipses 
(réelle, semi-réelle et idéale) et des hyperboles (réelle 
