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celui qui a pour directrice plane une courbe du second 
degré; il retrouve de cette manière toutes les variétés de 
courbes du second degré rencontrées dans le deuxième 
chapitre. Il étend à ces coniques non euclidiennes les théo- 
rèmes les plus célèbres relatifs aux coniques euclidiennes 
et, en particulier, ceux de Dandelin. Il obtient d'une 
manière plus systématique encore toutes les courbes de 
second degré riemanniennes, euclidiennes et lobatchefs- 
kiennes en coupant le cône du second degré par une 
sphère concentrique à centre réel à distance finie ou infi- 
nie, ou à centre idéal. Si nous ne nous trompons, les 
résultats exposés dans ce chapitre sont entièrement nou- 
veaux. 
8. Il en est autrement de ceux qui sont exposés dans 
le chapitre : Éléments infinitésimaux des courbes planes. 
Les écrits de Lobatchefsky, Bolyai, Flye de Sainte Marie, 
Frischauf, De Tilly, Simon, etc., ont, pensons-nous, 
épuisé la question. Ces géomètres n’emploient pas les 
mêmes coordonnées que M. Barbarin. Mais depuis la 
publication de la thèse de M. Gérard, il est facile de 
transformer les formules anciennes dans celles de M. Bar- 
barin. En outre, les résultats relatifs à la longueur et à 
l’horicycle peuvent s’obtenir sans recourir à l'emploi de 
coordonnées proprement dites. 
SECOND MÉMOIRE. Géométrie de l'espace. 1. M. Bar- 
barin définit d’abord les coordonnées homogènes dans 
l’espace à trois dimensions en les déduisant des coordon- 
nées trilinéaires sphériques du point considéré sur la 
sphère ayant l’origine pour centre. Ces coordonnées 
homogènes sont une généralisation des coordonnées 
rectangulaires de Beltrami et de Gérard. II fait connaître 
