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les formules fondamentales relatives à la transformation 
et résout les principaux problèmes relatifs à la droite et 
au plan, aux angles et aux distances. Parmi les résultats 
obtenus par l’auteur, nous devons signaler l'existence, 
dans l’espace riemannien, de droites équidistantes, de 
rectangles et de carrés gauches, et d’une surface-canal de 
révolution de Clifford dont les génératrices rectilignes 
coupent tous les méridiens, qui sont des hypercycles (ou 
équidistantes de l’axe), sous un angle constant. 
2. Le chapitre suivant traite d’abord de la génération 
des surfaces : cônes et cylindres, surfaces de révolution et 
surfaces-canaux. Parmi les surfaces de révolution, il faut 
distinguer le tore, qui est coupé suivant deux cercles par 
tout plan bitangent et toute sphère hitangente. Les 
surfaces-canaux considérées sont à axe rectiligne; dans 
l’espace riemannien, les surfaces canaux sont de révolu- 
üon autour de la droite réciproque de l’axe (deux droites 
réciproques sont telles que chacune est le lieu des 
centres des plans passant par l’autre). 
L'auteur aborde ensuite la théorie de la courbure des 
surfaces et en déduit que toutes les surfaces-canaux 
riemanniennes sont applicables sur l’une d'elles ; toutes 
les surfaces-canaux lobatchefskiennes sont de même 
applicables sur l’une d'elles, par exemple, sur lhori- 
sphère. La géométrie des géodésiques des surfaces-canaux 
est identique à la géométrie euclidienne. 
La fin du chapitre est consacrée à la recherche des 
tractrices (ou courbes aux tangentes égales) qui, par leur 
révolution autour de l’axe, engendrent des pseudosphères 
de courbure constante. La tractrice riemannienne est une 
spirale indéfinie, asymptote à l’axe auquel aboutissent 
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