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les tangentes; la tractrice lobatchefskienne est aussi 
asymptote à cet axe, mais n’est coupée qu'une seule fois 
par les perpendiculaires à cet axe. Les pseudosphères 
(dont la courbure est nulle, positive ou négative dans 
l’espace lobatchefskien) sont telles que la géométrie de 
leurs géodésiques est lobatchefskienne. 
Les théorèmes que nous venons de résumer sur la 
géométrie des géodésiques des surfaces-canaux et des 
pseudosphères sont nouveaux ou plutôt étaient nouveaux 
à la date de la présentation du mémoire de M. Barbarin 
à l’Académie, le 4 décembre 1897 M. Whitehead à 
trouvé, de son côlé, une partie de ces théorèmes (ceux qui 
se rapportent aux surfaces-Canaux) et les à communi- 
qués, le 10 mars 1898, à la Société mathématique de 
Londres (Proceedings of the London Mathematical Society, 
vol. XXIX, pp. 275-524). 
3. Le troisième chapitre est consacré à la théorie 
générale des quadriques et à la réduction de leur équa- 
tion générale aux formes les plus simples, ce qui dépend 
d'une équation en s du quatrième degré. L'auteur discute 
l'équation en s du n°” degré, à propos de cette question. 
Dans l’espace riemannien, l’auteur trouve deux genres 
principaux : ellipsoide (avec les variétés, ellipsoide de 
révolution, canal circulaire, sphère), hyperboloïde-boyau 
(avec les variétés ou cas limites, cône, hyperboloïide de 
révolution ou canal elliptique, deux plans). L'espace lobat- 
chefskien est beaucoup plus riche en surfaces du second 
degré. On y trouve d’abord le genre ellipsoide à trois, 
deux, un ou aucun axe réel ; le premier hyperboloïide à une 
ou deux nappes réelles, ou à une nappe idéale ; le second 
hyperboloide à deux nappes réelles ou idéales. Les variétés 
