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Et l’on sait (*) qu'un faisceau de plans et un faisceau 
projecuif de quadriques engendrent une surface du troi- 
sième ordre F;. Dans le cas actuel, cectte surface est 
réglée, car tout plan 9, contenant déjà une génératrice e 
de la surface T correspondante, la rencontre encore sui- 
vant une droite. 
Tous les points de e sont des points doubles de F;; car 
soit K un de ces points : le faisceau des plans p passant 
par e et le faisceau des plans tangents en K aux surfaces 
1 sont projectifs et superposés ; donc 1ls admettent deux 
plans doubles réels ou imaginaires conjugués © et 0; 
chacun d'eux contient une droite de l'; passant par K; 
celui-ci est done un point double. 
Toutes les génératrices rectilignes de F; rencontrent la 
cubique gauche, lieu des pôles du plan du faisceau (E). 
Ainsi la surface F; cherchée est une surface réglée du 
troisième ordre possédant une droite double. 
4. Soient à présent un faisceau ponctuel de quadriques 
F, et un faisceau plan de rayons (E) non rapportés l’un 
à l’autre. 
Les lieux des polaires des rayons d du second faisceau 
relativement au système de quadriques F, sont des sur- 
faces réglées d’un faisceau (H) projectif à (E), d’après le 
n° 2; et les polaires de ces droites d par rapport aux 
hyperboloides H correspondants engendrent, d’après le 
n° 5, une surface réglée du troisième ordre F;. Mais 
(n° 1) ces dernières polaires sont aussi les lieux des cen- 
tres des moyennes harmoniques, par rapport à chacune 
des droites d, des points d’intersection des plans menés 
par «/ avec la courbe de base du faisceau F,. 
() REYE, loc. cit., t. IT, p. 172. 
