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ne se produise pas dans les autres, dans des positions 
homologues, nous disons logiquement que ces faces sont 
coexistantes et, logiquement, elles doivent se produire 
simultanément. L’axe de rotation est appelé axe de 
symétrie. 
Les faces coexistantes des cristallographes géomètres 
ne répondent pas à la condition de coexistence : il est 
vrai que par une rotation de 120° l’ensemble des pôles 
est restitué et que pour celui qui s'arrête à regarder Ja 
surface de la sphère, comme le fait le eristallographe 
géomètre, les différentes régions de 120° semblent iden- 
tiques, mais 1l n’en est pas de même pour celui qui exa- 
mine plus profondément. Ainsi, sans recourir aux idées 
de Bravais qui vont être exposées, nous avons vu plus 
haut que l'existence d'un axe tlernaire sans face normale 
possible exige que les paramètres à, b, € soient incommen- 
surables (*); lors de la rotation de 120°, les pôles se 
superposent aux pôles et rien ne parait changé à la surface 
de la sphère; les pôles de trois arêtes du trièdre axial se 
restituent aussi, X venant en Ÿ, Y en Z et Z en X ; mais, 
comme les trois arêtes elles-mêmes peuvent être distin- 
guées à cause de l’inégalité des paramètres, les trois 
régions de 120° ne sont pas équivalentes et les faces 
groupées par trois autour du soi-disant axe ternaire n’ont 
pas plus de raison de coexister que trois faces rationnelles 
quelconques. L’axe ternaire donné par le théorème HI 
n'est pas un axe ternaire eristallographique; il est donc 
absurde de prétendre qu'il puisse exister un axe ternaire 
cristallographique sans qu’une face normale soit possible. 
(*) Voir l'observation qui suit le théorème III, p. 169. 
