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Avant d'examiner si les constructions données par les 
solutions ci-dessus peuvent se continuer tout autour de 
manière à tapisser complètement la sphère R, observons 
que l’on peut se faire une idée très nette de la variation 
du nombre de petites sphères tangentes avec le rayon de 
l'enveloppe, en opérant comme il suit : 
Plaçons sur une table une feuille métallique plane, à 
laquelle, en relevant les bords, nous pourrons donner 
une forme sphérique de plus en plus accentuée. Déposons 
sur la feuille une petite sphère puis, tout autour, six 
petites sphères tangentes entre elles et à la première; les 
points de contact des six sphères avec la sphère centrale 
se trouveront sur le grand cercle horizontal de celle-ci, 
en y occupant les sommets d’un hexagone régulier 
inscrit. Ce cas correspond à R — æ . Relevons à présent 
tout autour les bords de la feuille de manière à faire 
diminuer lentement R ; les sphères latérales montent sur 
la sphère centrale et, depuis R— jusqu’à R — 2,9021a, 
l’arrangement devient impossible, six sphères étant de 
trop et cinq en trop petit nombre pour se grouper autour - 
du cercle des contacts qui monte parallèlement à lui- 
même tout en diminuant de grandeur; ce n’est qu’au 
moment ou R atteint la valeur 2,9021a que l’arrange- 
ment devient possible pour cing sphères qui touchent la 
sphère centrale suivant un certain parallèle sur lequel les 
contacts occupent les sommets d’un pentagone régulier 
y inscrit. En continuant à relever les bords de la feuille 
les sphères latérales montent toujours et, tant que R n’a 
pas atteint 2,41a, 1l y aura trop de cinq sphères et trop 
peu de quatre pour entourer la sphère centrale; au 
moment où R — 2,41a l’arrangement devient possible 
