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Dans ce qui précède, la couche sphérique, déjà com- 
plète (*) dans les cas n — 2, n = 3, s’est complétée 
immédiatement par l’addition d’une petite sphère dans 
le cas n — 4; dans le cas actuel il faut encore chercher 
si, en continuant à ajouter des sphères autour des cinq 
déjà placées, il est possible de tapisser complètement la 
sphère enveloppe (**). 
Il est facile de voir que l’ensemble des cinq sphères 
dépasse un peu en dessous la base de l'hémisphère A), 
car (fig. 1) la hauteur de C, au-dessus de cette base est 
2a cos 18° 
H —(R = a) COS & — PAU = 0,85065a, 
b) 
de sorte que le plan horizontal qui touche ces sphères 
vers le bas est en dessous de la base de l'hémisphère . 
d'environ 0,154. 
Effectuons la même construction dans l’autre hémi- 
sphère pris à part : une sphère au fond, cinq tout autour; 
je dis qu’en plaçant les deux hémisphères au contact pär 
leurs bases, après avoir tourné l’un des pentagones des cinq 
centres de 56° par rapport à l’autre, les sphères qui débor- 
dent dans l’un des hémisphères viennent se mettre dans 
les creux formés par les sphères de l’autre, en position 
de tangence par rapport aux deux sphères entre lesquelles 
(*) Voir note I à la fin. | 
(**) Plusieurs démonstrations approximatives se présentent à l’es- 
prit, entre autres celle-ci : La surface du triangle A; A1 Ae, pour 
w— 1%, est la vingtième partie de la sphère; ces vingt triangles 
peuvent se juxtaposer les uns aux autres, leurs angles de 36° per- 
mettant de les grouper cinq par cinq autour d’un même point; etc. 
