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il vient ainsi. 
lim P, = p. 
Mais comme € est aussi petit que l’on veut, u, qui est 
une valeur moyenne de f(x) dans l'intervalle (x — e, 
æ + e), ne peut différer de f(x) qui est supposée continue 
au point x. x 
6. Théorème HE — Si f(x) est continue dans une 
portion de l'intervalle (a, b), P; converge uniformément 
vers f(x) dans tout intervalle intérieur à cette portion (*). 
En effet, x variant, les quantités considérées comme 
infiniment petites dans les deux démonstrations précé- 
dentes tendent uniformément vers O, et les valeurs de 
f(x) dans l’intervalle (x — e, æ + e) tendent uniformé- 
ment vers f(x) quand e tend vers O. 
En particulier, si f(x) est continue dans l'intervalle (a, b) 
tout entier, la convergence de P, vers f(x) sera uniforme 
dans tout l'intervalle. On peut, en effet, considérer l’inter- 
valle (a, b) comme intérieur à un autre (a — e, b + e) où 
f(x) est continue. 
7. Théorème EV. — Si f(x) est discontinue mais 
(*) M. LEBESGUE a démontré le théorème suivant (Bulletin des 
sciences mathématiques, 1898, p. 280) : Toute fonction continue dans 
un intervalle (a, b), sauf pour un ensemble dénombrable de valeurs de 
la variable, est développable dans cet intervalle en série de polynômes 
äbsolument et uniformément convergente dans tout intervalle où 
n'existent pas de points de discontinuité. 
On trouve une seconde démonstration du même théorème, due. 
également à M. Lebesgue, dans les Leçons sur les fonctions de 
variables réelles, de M. E. BOREL, page 9,5. 
Mers tpm, 
