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Substituons cette valeur, nous trouvons (lim pouvant 
ne désigner qu’une valeur asymptotique) 
lim P,— lim kg. 
Cette relation subsiste quelque petit que soit e; sup- 
posons donc que la dérivée généralisée existe au point x, 
le rapport dont Ha désigne la valeur moyenne difiérera 
aussi peu qu'on veut de cette dérivée généralisée et, par 
conséquent, la limite de P, lui sera égale. | 
De là le remarquable théorème qui suit : 
43. Théorème VE, — La dérivée première P, a 
pour limite : 1° la dérivée f'(x) en tout point où cette dérivée 
existe ; 2 la dérivée moyenne de f(x) en tout point où celle-ci 
existe ; 3° la dérivée généralisée (n° 41) de f(x) en tout point 
où celle-ci existe. — Dans tous les cas, la valeur asympto- 
tique de P} est intermédiaire entre les quatre nombres 
dérivés de f(x) au point x. 
Il est à remarquer que toutes les intégrales négligées 
comme infiniment petites dans la démonstration précé- 
dente, le sont uniformément quand x varie dans l’inter- 
valle (a, b). La convergence de P, vers sa limite sera 
donc uniforme dans tout intervalle où le rapport 
f(x + u) — f(x — u) 
2u 
convergera uniformément vers sa limite ; done, en parti- 
culier, dans tout intervalle intérieur à un autre où f’(x) 
sera continue. | 
Toutefois, ou n’oubliera pas que nous avons fait (n°3). 
f(x) constant hors de l'intervalle (a, b); les points a et b 
sont donc, en général, des points de discontinuité pour 
