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la dérivée, et la convergence cessera d’être uniforme dans 
leurs environs. 
Au besoin, on évitera cet inconvénient par une défini- 
tion de f(x) hors de (a, b) telle que la dérivée soit con- 
tinue. 
Avant de passer à l'étude des dérivées d'ordre plus 
élevé de P,, il convient encore de généraliser la définition 
des dérivées. | 
14. Dérivée seconde généralisée. — Nous don- 
nerons, avec M. Lebesgue (*, le nom de dérivée seconde 
généralisée à la limite (pour k = 0) du quotient 
f(x + h) + f(x À) — 2/0) 
h° ; 
quand cette limite est finie et déterminée. 
Cette définition suppose f(x) continue au point æ. Si 
f(x) est discontinue au point x, il peut encore arriver que 
fx +2) + f(x —h) 
ait une limite 24, quand À tend vers 0. 
Dans ce cas, nous conviendrons de remplacer 2/(x) 
qui figure au numérateur de la fraction précédente par 
cette.limite 2a,. 
D’une manière générale, la dérivée seconde généra- 
lisée sera donc la limite, si elle existe, du quotient 
f(x + h) + f(x — h) — 2a, 
Dr DE nor 
(*) Leçons sur les séries trigonométriques, p. 6. Paris, G. V., 1906. 
