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Ce quotient peut avoir une limite sans que la dérivée 
seconde ordinaire existe. Mais sa limite sera certaine- 
ment f(x), si cette dérivée existe au point x. C’est un 
cas particulier de la proposition plus générale suivante : 
Si la dérivée première f'(x) a une dérivée première géné- 
ralisée a au point x, la dérivée seconde généralisée de f(x) 
sera égale à cette dérivée à. 
On a, en effet, dans ce cas, par définition de la dérivée 
première généralisée de f/(x) : 
f{&+h)—f(x—h)=(a+e)2h, 
où € tend vers O avec h. De plus, f(x) sera continue au 
point x. 
Soit « une constante positive d’une petitesse arbitraire; 
il suit de la relation précédente que la fonction de À 
fe + h) + f(x — h) — 2f(x) — ah? + ah? 
a, pour hÀ positif et suffisamment petit, sa dérivée du 
signe de Æ «. Donc la fonction, s’annulant avec h, sera 
elle-même du signe de + «, donc aussi son quotient 
par h, savoir 
f(x + h) + f(x — h\ — 2f(x) 1: 
pe a E «, 
ce:qui entraîne, pour À positif, 
; He RSR 
et le raisonnement serait analogue pour À négatif. 
45. Dérivée seconde de P,;. — Dérivons deux 
