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On peut, sans changer sa limite, remplacer, dans l’in- 
tégrale, f(x + u) + f(x — u) par 
f(x + u) + f(x — u) — 2&, 
car cela revient à en retrancher une intégrale qui a pour 
limite 0. On à, en effet, 
k, [ D°(1 —u*)"du = k,[D(1 — 2)" — —Qnk,e (1 — e)""t, 
0 
Écrivons donc 
k f(x+u)+ f(x —u) —2a 
lim Pine / ARC) Er le ARTE — w*)"du. 
2 u° 
0 
Supposons maintenant que la dérivée seconde généra- 
lisée existe. Effectuons la dérivation indiquée; nous 
voyons que la limite de P, sera celle de la différence 
AUY —u) —2 
. 1 a a tr Fe SAN A Vernet 
(7 
u° 
( 
__ ef AE na Anal api eu te, 2nu°(1 ét u*)"-!du 
2 . 
0 
Désignons par p. et x/ des valeurs moyennes du rapport 
f(x + u) + f(x — u) — 2a, 
w° 
dans l'intervalle (0, :); comme ce rapport multiplie, 
dans chacune des deux intégrales, un facteur qui ne 
change pas de signe, nous pouvons appliquer le théorème 
ù 
