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De. là le théorème suivant : 
16. Théorème VAI — La dérivée seconde P, a 
pour limite la dérivée Seconde généralisée de f(x) en tout 
point où cette dérivée existe. En particulier, PT a pour 
limite f! (x) en tout point où f''(x) existe. 
Ce théorème appelle évidemment des remarques ana- 
logues à celles faites au n° 13 à l’occasion de la dérivée 
première. 
Remarquons seulement que la convergence de PY vers 
sa limite sera uniforme dans tout intervalle où le rapport 
f{x+ h)+ f(x —h) —2a, 
h° 
tendra uniformément vers sa limite, donc, en particulier, 
dans tout intervalle intérieur à un autre où la dérivée 
seconde f//(x) sera continue. 
$S 4. — Dérivées d'ordre supérieur. 
17. Théorème VEII. — La dérivée d'ordre r quel- 
conque Pr a pour limite la dérivée du même ordre de f(x) 
en tout point ou cette dérivée existe. 
Nous pouvons supposer r > 2. 
Pour que fl) (x) existe au point x, il faut que fl —1{x) 
existe et soit bornée dans un intervalle suffisamment 
petit (æ — €, æ + €); alors ft" —2(x) est une fonction 
continue dans cet intervalle. 
Considérons la relation 
k 1 
P, ef flu)[t — (u — x)]"du. 
