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car flu + x) et ses dérivées peuvent être supposées con- 
tinues jusqu’à l’ordre r — 2 dans l’intervalle (— €, + e). 
Il vient ainsi, les termes aux limites étant tous infini- 
ment petits pour n = © : | 
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Jim P° — lim 2 f fu + x) D'(1 —u°)" du. 
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Mais cette expression est tout Juste celle dont nous 
avons cherché la limite au n° 45; elle a pour limite la 
dérivée seconde généralisée de f'—?{(x) si elle existe. 
Or, cette dérivée existe dans le cas présent et elle est 
égale à la dérivée f’(x) supposée existante. 
Le théorème est démontré. 
18. Dérivées généralisées d'ordre supérieur. 
— Nous avons donné aux n° 41 et 14 les définitions des 
dérivées première et seconde généralisées, et l’on aura cer- 
tainement remarqué que la définition de la dérivée 
seconde généralisée est complètement indépendante de 
la considération de la dérivée première. 
Il est naturel de se demander s’il est possible d’éten- 
dre ces définitions aux ordres supérieurs, de telle sorte 
que nos deux premières définitions rentrent comme cas 
particuliers dans une définition générale et que la défi- 
nition de la dérivée généralisée d’ordre r ne soit pas liée 
à l’existence des dérivées ordinaires d’ordre moindre dans 
le voisinage du point x. 
La chose est possible. On peut donner, de la dérivée 
généralisée d'ordre r, une définition qui suppose seule- 
ment l’existence des dérivées généralisées d'ordre moindre 
et de même parité au seul point x. 
