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Supposons qu'on puisse écrire 
Le un 3 
CE Sn RE Lan 
2 3! 
h2"-—1 h?+1 
+ 2,1 (On —1)! sh (Aon+4 + &) @n+1) 
les coefficients a étant des constantes relativement à À 
et w une quantité qui tend vers O avec h. Nous dirons 
que les coefficients 44, 43, .… dm +1 sont les dérivées géné- 
ralisées successives d'ordre impair de f(x). 
De même, supposons qu’on puisse écrire 
f(æ + h) + f(x —h) h° h° 
== d + O2 = Se (2 + e 
2 2! 4! 
h?—2 h?" 
at no (2n 2)! + (ae au ) Eanyt 
où les a sont des constantes par rapport à h et où « tend 
vers O avec h. Nous dirons que &o, 43, ..… a sont les 
dérivées généralisées successives d’ordre pair de f(x). 
Que ces dérivées généralisées coincident avec les déri- 
vées ordinaires quand les dérivées ordinaires existent, 
c’est ce qui résulte immédiatement de la comparaison 
du théorème IX qui suit avec le théorème VIIT qui pré- 
cède; par contre, l'existence des dérivées généralisées 
n’est pas liée à celle des dérivées ordinaires. 
19. Théorème IX. — La dérivée d'ordre r quel- 
_conque P° de P, a pour limite quand n croît indéfiniment 
la dérivée généralisée du méme ordre de f(x) en tout point 
où cette dérivée généralisée existe. 
