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Reprenons la formule du n° 17 : 
k £ 
lim PF = (— 1)" lim 2h fu + x) D'(1 — u?)"du, 
€ 
formule dont la démonstration subsiste aussi bien dans 
le cas actuel. Changeons la variable d'intégration w en 
— u dans l'intervalle de — e à 0; il viendra 
lim Pr—(—1) lim #, f° ARE, —w?)"du, 
: u 
le signe ambigu dépendant de la parité de r (+ si r est 
pair, — si r est impair). | 
Comme la démonstration se fait exactement de la 
même façon dans les deux cas, nous supposerons, pour 
fixer les idées, que r soit pair et nous écrirons 
f(x + u) + f(x —u) 
lim Pr = lim k, 
2 
D'(1 — u*)"du. 
0 
Faisons, en passant, une remarque essentielle. Si l’on 
remplace dans cette formule f(x) par une fonction (x) 
ayant une dérivée ordinaire de l’ordre r, le théorème VIII 
s'appliquant, on aura 
+6, 1 be 
Pb) er fs Re en 
0 
Ceci bien entendu, supposons que f(x) ait une dérivée, 
