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Remarque. — La démonstration précédente met 
encore en lumière que la convergence de PU) vers sa limite 
sera uniforme, quand x varie, dans tout intervalle où w tend 
uniformément vers o ; donc, en particulier, dans tout inter- 
valle intérieur à un autre ou la dérivée ordinaire d'ordre r 
est continue. 
S o. — Degré d'approximation obtenu 
par le polynôme P:. 
21. Hypothèses à faire sur f(x). — La rapidité 
plus ou moins grande avec laquelle le polynôme P, con- 
verge vers f(x) quand n augmente, dépend de la nature de 
la fonction f(x). On ne peut rien dire de plus avec les 
hypothèses très générales faites jusqu'ici. 
Pour arriver à un résultat précis et pouvoir comparer 
les diverses méthodes d’approximation au point de vue 
qui nous occupe, 1l faut faire des hypothèses plus parti- 
culières. 
Un des cas les plus intéressants et les plus instructifs 
est celui où l'équation 
y = [(x) 
_ représente une ligne polygonale. Nous allons faire des 
hypothèses qui comprendront en particulier le cas d’un 
polygone. 
Nous supposerons que la fonction fix) est continue, 
qu’elle possède, en chaque point, une dérivée à gauche 
et une dérivée à droite 
INC si 0), f(x, AE 0), 
