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29. Relations entre la somme S, et la série 
de Fourier. — Si la série de Fourier 
S =5+ X (a, cos kx + b, sin kx) 
est convergente, S, a pour limite S, quand n tend vers 
l'infini. 
Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ce 
théorème, car il est clair qu’il se démontre comme le 
théorème classique d’A8eL sur les séries entières, théo- 
rème dont voici l’énoncé : 
Si la série 
0 ou nl 7 Ben m2 Dem et À em) I 
est convergente et a pour somme S, on a aussi, quand x tend 
vers À en croissant, 
LU (Go + a + ee + aa + …) =S, 
En effet, la démonstration connue du théorème d’Abel 
repose sur cette seule circonstance que l’on a multiplié 
respectivement les termes successifs de la série ay par 
les facteurs xË qui décroissent d’un terme au suivant et 
qui tendent chacun vers l’unité quand x tend vers l’unité. 
— On fait exactement la même chose pour passer de la 
série de Fourier à la somme S,, sauf que les facteurs de 
la transformation deviennent tous nuls à parüur d’un 
certain rang. 
Donc S, tend vers la somme S de la série de Fourier 
quand cette série converge. Mais, comme on le verra, S, a 
une limite dans des cas très généraux où la série de 
Fourier ne converge pas, ce qui généralise donc dans un 
sens très étendu la sommation de la série de Fourier. 
