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Mais il y a plus : la relation que nous venons d’étudier 
entre la somme S, et la série de Fourier se conserve 
exactement la même entre les dérivées de S, et les 
dérivées du même ordre de la série de Fourier. Done 
partout où les dérivées de la série de Fourier convergent, 
elles ont nécessairement pour sommes les limites des dérivées 
correspondantes de Sn. 
Cette relation entre S, et la série de Fourier est acces- 
soire dans notre étude ; mais elle méritait d’être signalée, 
car elle ajoute un nouvel intérêt à la recherche des limites 
de S, ou, ce qui revient au même, de J,. 
Nous allons donc passer maintenant à la recherche de 
ces limites. 
$ 2. — Convergence des suites d'approximation 
FRAIS 
30. Remerques préliminaires, — Comme nous 
l'avons dit précédemment (n° 28), les limites de [, et 
de S, ou, plus généralement, leurs valeurs asymptotiques, 
sont les mêmes quand n tend vers l'infini. Il nous suffira 
done de considérer l’intégrale [. 
Nous avons dit au n° 26 que nous considérions la 
fonction f(x) de période 2 x et que cette fonction était, 
par conséquent, définie par ses valeurs dans l'intervalle 
—#r et + x. Îl suffit donc de faire varier x dans cet 
intervalle. 
Toutefois, pour éviter des longueurs inutiles, nous 
supposerons dans les démonstrations que x ne sort pas 
de l'intervalle 
(— 7 +6, x — €), 
