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39. Théorème IX. — Les dérivées d'ordre r quel- 
conque de I, et de S, ont pour limite la dérivée généralisée 
du même ordre de f(x) (n° 18) en tout point où cette dérivée 
généralisée existe. 
De même que la démonstration du théorème analogue 
sur P, revient à prouver (n° 19) que l’expression 
€ 
ka œu"D'(1 — u*) du 
0 
est infiniment petite avec w quel que soit n, de même 
la démonstration du théorème actuel revient à prouver 
que expression 
s | u 
h, 1e œu"D" cos? — du 
e 2 : 
0 
est infiniment petite avec w. Pour simplifier, remplaçons 
u par 2u ete par 2, nous devrons prouver la même 
chose pour l'expression 
€ 
h, dE œu"D" cos*"udu. 
0 
A cet effet, remarquons que D" cos”? u est la somme 
d'un certain nombre (fonction de r) de termes de la 
forme générale 
A,-, cos" —"+#u sin"—*u, 
où s prend les valeurs 0, 1, 2, … qui ne surpassent 
pas 5 et où A,_; désigne en général un coefficient numé- 
rique infiniment grand avec n, mais de l’ordre de ns. 
