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Remarque. — La démonstration met en évidence que 
la convergence des dérivées d'ordre r de 1 et S, vers leur 
limite sera uniforme (x variant) dans tout intervalle où © 
tendra uniformément vers O avec u; donc, en particulier, 
dans tout intervalle intérieur à un autre où la dérivée 
ordinaire d'ordre k de f(x) sera continue. 
40. Application aux séries de Fourier. — 
D'après ce qui a été dit au n° 29, si l’on définit la 
somme d’une série de Fourier par la limite de la 
somme Sx Correspondante, ce procédé de sommation 
jouit de la propriété remarquable que voici et qui, pen- 
sons-nous, n’a pas été encore signalée même pour d’autres 
procédés. 
Étant donnée la série de Fourier d’une fonction f(x), si 
l’on dérive successivement cette série au point x, lu somme 
d’une série dérivée d'ordre quelconque, somme déterminée 
par le procédé (Sa), sera égale à la dérivée correspondante 
de f(x) au point x, si la dérivée existe en ce point. — Plus 
généralement, la somme de la série dérivée sera égale à la 
dérivée généralisée de f(x), si cette dérivée existe. 
En particulier, si la dérivée d’ordre quelconque d’une 
série de Fourier converge (dans le sens ordinaire) au 
point x, elle aura pour somme la dérivée du même ordre 
de f(x), sous la seule condition que cette dérivée (ordi- 
naire ou généralisée) existe au point «x. 
La propriété remarquable que nous venons de recon- 
naître au procédé de sommation (S,) nous amène natu- 
rellement à nous demander si un autre procédé, déjà 
connu, ne jouirait pas des mêmes propriétés. Nous 
allons montrer qu’il en est bien ainsi pour le procédé de 
sommation de Poisson. ] 
