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$ 4. — Digression sur la sommation des dérivées des séries 
de Fourier par le procédé de Poisson. 
41. Intégrale de Poisson. — Conservons toutes 
nos hypothèses précédentes (n° 26) sur la fonction f(x) et 
considérons la série de Fourier de cette fonction, c’est-à-dire 
la série formelle 
4a, + Z(a,cosnx + b, sinnx), 
dont les coefficients sont définis au n° 28, laquelle série 
peut converger ou non au point x. 
Pour sommer cette série, Poisson considère la fonc- 
tion (*) 
J(r,x) = a + Z r"(a, cos nx + b, sinnx) 
qui existe pour O < r < 1 dans les hypothèses que nous 
venons de rappeler; et il convient que la somme de la 
série de Fourier sera, par définition, 
ri) (rs). 
Cette limite est d’ailleurs égale à la somme de la série 
dans le sens ordinaire chaque fois que la série est con- 
vergente (Théorème d’'ABeL, n° 29). 
Que la fonction J (r, x) existe sous ces conditions très 
générales, c’est ce qui résulte immédiatement de‘ce fait 
que J (r, æ) s'exprime par l'intégrale (bien déterminée 
dans ce cas), connue sous le nom d’irgégrale de Poisson, 
À der (4 — r°)du 
V6 ho fl; — Dr cos(u — x) + r° 
(*) Journal de P École polytechnique, 18e cahier. 
