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La transformation se fait par la formule bien connue 
| Par r° 2 
SE er M 1 no r"cosn8 (*). 
Donc, pour trouver la somme de la série de Fourier et 
aussi de ses dérivées d'ordre quelconque par le procédé 
de Poisson, il faut chercher la limite de J et de ses déri- 
vées par r — 1. | 
C’est un résultat bien connu que J tend vers f(x) aux 
points où f(x) est continue. C’est -pourquoi nous allons 
passer immédiatement à la considération des dérivées. 
Nos calculs antérieurs nous tracent d’ailleurs la voie à 
suivre par arriver au résultat. 
42. Transformation préalable de la dérivée 
de l'intégrale de Poisson. — Dans le cas actuel, le 
facteur de discontinuité, analogue au facteur cos *» = 
de tout à l’heure, est 
1—7° 
4 — 9r cos (u — x) + re 
Ce facteur est toujours positif si 0 € r < 1; et, si l’on 
impose à x la condition de rester compris dans l'inter- 
valle 
(— Tr +6, T— 6) 
quelque petit que soit e positif, ce facteur tend vers 0 
quand r tend vers l’unité, sauf pour la seule valeur u = x 
qui le rend imfini; et toutes les dérivées de ce facteur 
possèdent la même propriété. 
(*) Voir, par exemple, PicaRD, Traité d'analyse, t. I, 1r° édit., 
p. 248. 
