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Nous supposerons donc, dans les démonstrations, 
que x varie dans cet intervalle. Mais, comme nous l’avons 
déjà remarqué au n° 50 pour Î», les conclusions s’appli- 
queront à toutes les valeurs de x, à cause de la périodi- 
cité supposée de la fonction f(x). 
Il suit de la remarque que nous venons de faire sur le 
facteur de discontinuité, que la dérivée d’ordre k quel- 
conque (* ) 
1 
(Ur : — Qrcos(u — x) + 7° ri 
aura la même valeur asymptotique (r tendant vers 1) que 
l'intégrale 
J® (r, x) 
1 — me 1 
f{u) D CRE me preur Le 
2r cos(u — x) + 7° 
Mais on peut remplacer D, par — D,, puis la variable x 
(*) La dérivation sous le signe ne donne pas lieu à difficulté: En 
remplaçant dans l'intégrale 
| 
k 
© 1 — 9r cos (u — x) + r? 
par son développement en série uniformément convergente 
2ED, r" cos n(u — &), 
et en intégrant terme à terme, on trouve tous les mêmes termes 
|: qu’en dérivant k fois l'expression de J (r,x) en série. Toutes les 
séries sont uniformément convergentes. 
