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se décompose (abstraction faite de coefficients numériques 
finis quand r tend vers un) en une somme de termes de 
la forme générale 
sin %u cosÊu 
(4 — 2r cosu + r°) 
où les exposants sont entiers, « et f nuls ou positifs et 
7 > 1, avec la condition 
2y —a<k +2. 
Cette propriété se vérifie immédiatement pour le pre- 
mier ordre. Pour établir qu’elle est générale, il suffit de 
la supposer vraie pour le terme général écrit ci-dessus et 
de montrer qu’elle subsiste (en changeant k en k + 1) 
pour les termes qui s’en déduisent par une dérivation. 
Or cette dérivation peut donner trois termes (il yen a 
moins si « ou f est nul), les exposants devenant respecti- 
vement (le cas d’un exposant négatif étant à exclure) : 
a—1 B+l y pour le premier terme, 
2 +1 B—1 y pour le second terme, 
a+i $ y + 1 pour le troisième terme. 
Donc 2y — « est remplacé par l’un des nombres 
(y — a) +1  (2y—a)—1 (27 —a) +1, 
si ce nombre augmente, il augmente de 1 commeket 
l’inégalité 2y — à < k + 2 subsiste. 
1908. — SCIENCES. 47 
