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5° L'intégrale 
1 
€ 
1 — 7° f u' D’ — du 
À ) Le À — dr cos &# + r° 
0 
est infiniment petite avec «, quel que soit r < 1. 
La démonstration du 4° est immédiate. Si à n’est pas 
nul, on fait i intégrations par parties consécutives en 
observant que les termes aux limites sont nuls pour u — 0 
et infiniment petits pour u —e (r tendant vers 1). On 
obtient l'intégrale 
fo RE ERREUR À. 
1 — 2rcosu +r 1 — 2r cosu + r° |, 
0 
Cette dérivée d'ordre impair k — i — 1 s’annule pour 
u = 0 (n° 45, 1°) et est infiniment petite à l’autre limite & 
quand r tend vers 1. Donc la limite de l’intégrale est 
nulle. 
Pour démontrer le 2, on fait k intégrations par parties 
consécutives, Ce qui ramène, pour les mêmes raisons, à 
lintégrale 
(| à À 0" =: 2 Arr © 
_— 14 ———— du = —arctg ty — 
- 1 — Or cos u + r”° æ 1=— nr 
t 
0 
qui, comme on le voit directement, a pour limite l’unité 
quand r tend vers 1. | 
Reste seulement à démontrer le 3°. À cet effet, rem- 
plaçons la dérivée d'ordre k par son développement 
