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k fois cette série, la série dériree, sommée par le procédé de 
Poisson (*), aura pour somme la dérivée d'ordre k de f{x) en 
tout point où cette dérivée existe et, plus généralement, la 
dérivée généralisée en tout point où celle-ci existe. — De plus, 
dans tout intercalle intérieur à un autre où la dérivée ordi- 
naire d'ordre k existe et est continue, la convergence sera 
uniforme quand r tend vers 1. 
Par EXEMPLE, On peut former la série de Fourier pour 
l’ordonnée f(x) d’une LIGNE POLYGONALE. Si æ est un des 
sommets, les dérivées généralisées d'ordre impair sont 
toutes nulles, sauf la première qui est égale à la dérivée 
moyenne. On a, en effet, pour w suffisamment petit 
(n° 48) : | 
f(x 2 u) — f(x — u) = 2au. 
# Donc, en ce point-là, toutes les dérivées d’ordre impair 
de la série de Fourier peuvent être sommées par le pro- 
cédé de Poisson; la première aura pour somme 44, toutes 
les autres pour sommes 0. 
Comme les dérivées généralisées d'ordre impair > 1 
sont aussi nulles aux autres points, elles sont donc nulles 
pour toutes les valeurs de x. Mais la convergence de 
J (r,x) cessera d’être uniforme dans le voisinage des 
sommets. | 
(*) On n’oubliera pas que le procédé de Poisson donne le même 
résultat que le procédé de sommation ordinaire, chaque fois que la 
série converge. 
