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que l’on peut former en prenant un système quelconque 
de points consécutifs 241, Zo,... æ intermédiaires entre 
(CU: | 
Les fonctions à variation bornée sont celles pour les- 
quelles cette limite est finie (*). 
4° Il résulte d’abord de cette définition que la varia- 
tion totale de o(x) dans une partie de l'intervalle (a, b) 
ne peut pas surpasser la variation totale dans l’inter- 
valle (a, b). 
2 Si une fonction ®(x) a une variation totale M dans 
l’intervalle (a, b) et est constamment nulle hors de 
l'intervalle, elle sera à variation bornée dans l’inter- 
valle (— œ, + æ), et sa variation totale, dans l’intervalle 
(— œ, + æ), sera évidemment 
M+ |#(a)| + | #(6)1. 
5° Une fonction p({x) à variation bornée est la diffé- 
rence de deux fonctions v,(x) et #,(x) positives et non 
décroissantes dans l'intervalle (a, b). 
La propriété précédente est démontrée dans les deux 
Cours mentionnés ci-dessous (*). Mais nous utiliserons 
aussi la suivante, qui n’y est pas énoncée sous cette forme : 
4° Une fonction à variation bornée est la différence de 
deux fonctions positives et non décroissantes d(x) et bo(x), 
qui sont, de plus, continues en tout point où f(x) est elle- 
méme continue. 
En effet, considérons l’ensemble de toutes les fonc- 
(*) Voir le Cours d'analyse de GC. JorpaAN, 2 édition, t. I, nes 67 et 
suivants. Paris, G. V.; ou bien mon Cours d'analyse, t. I, n° 298. 
Louvain, Uystpruyst, 1903. 
