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sont, par définition, les deux nombres dérivés supérieur et 
inférieur à droite au point x. Les deux nombres dérivés à 
gauche se délinissent de même pour h négatif. 
Supposons qu'une fonction f(x) ait l’un de ses quatre 
nombres dérivés à variation bornée dans un intervalle 
donné, par exemple son nombre dérivé supérieur à 
droite A(x). D'abord A(x), étant la différence de deux 
fonctions qui varient sans décroitre, a une limite 
A(a — O0) quand x tend vers a en croissant, et une 
limite A(a + O0) quand x tend vers a en décroissant. 
Ensuite À (x), différence de deux fonctions intégrables, 
est intégrable. Mais on démontre très facilement que 
lorsqu'un nombre dérivé d’une fonction f(x) est inté- 
grable, son intégrale entre a et b est f(b) — f{a) (*). 
On a donc 
h) — 17 
TL A(a + h)dh; 
0 
par conséquent, par le théorème de la moyenne, 
v lim ES DOS si hk > 0; 
h—0 h UN A {a 20) Ma RAR 
Il suit de là que f(x) à des dérivées à droite et à gauche 
finies et déterminées en chaque point. Désignons-les par 
f(x, + 0) et f/(x, — 0); la relation précédente montre 
que 
f'(a, + 0) = A(a + 0), f(a, —0)— A(a — 0). 
(*) Voir, par exemple, LEBESGUE, Leçons sur l'intégration et la 
recherche des fonctions primitives, p. 80. Paris, G. V., 1904. 
