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Donc l’une quelconque des deux dérivées au point x 
tend vers la dérivée à droite en a si x tend vers a en 
décroissant, vers la dérivée à gauche en a si x tend vers a 
en croissant. En conséquence, nous pouvons, sans ambi- 
guité, désigner les dérivées à droite et à gauche au point x 
par les notations (sans virgule) 
fæ+0), f(x —0). 
A 
Donc, si une fonction à un nombre dérivé à variation 
bornée, on peut aussi dire qu’ elle a une dérivée à variation 
bornée; en effet, elle possède des dérivées à droite et à 
gauche déterminées en chaque point et à variation bornée. 
5%. Variation totale dans l'intérieur d'un 
intervalle. — Nous appelons variation totale d’une 
fonction (x) pans L'INTÉRIEUR d’un intervalle (a, b), la 
borne supérieure de la somme 
pe) — (aa) | + | ?(Xs) — (x) | ++ | p(x,) — p(24) | 
quand Æ1, Zo, .… Xn SOnt un système quelconque de points 
consécutifs entre a et b, ces deux limites exclues. 
S. Application au cas d'une fonetion ayant 
une dérivée à variation bornée (n° 6). — Il 
importe de remarquer le théorème suivant : 
Quand une fonction a une dérirée à variation bornée 
(n° 6), ses deux dérivées à droite et à gauche ont la méme 
variation totale DANS L'INTÉRIEUR d’un intervalle (a, b). 
En effet, supposons, par impossible, que la variation 
totale de l’une des deux dérivées, — celle à droite, par 
exemple, — soit plus grande que la variation de l’autre. 
1908. — SCIENCES. 22 
