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On peut alors trouver une somme 
| Pa + 0) — fai + 0) | + | frs + 0) — (+0) | + 
suffisamment rapprochée de sa limite pour surpasser la 
varjation totale de la dérivée à gauche. Donc, prenant 
positif et assez petit pour que x, + € soit encore < b, 
cette somme surpassera la suivante, relative à la dérivée 
à gauche : 
f'(œa+e—0)—f'{aie—0)] + | fe —0)—f'{ae +e 0) |. 
Mais ceci est absurde, parce que la seconde somme est 
égale à la première pour € infiniment petit. 
REMARQUE. — Il résulte du théorème précédent que 
si une fonction à une dérivée à variation bornée dans 
un intervalle (a, b), on peut parler de la variation totale 
de la dérivée DANS L'INTÉRIEUR de cet intervalle sans avoir 
à préciser de laquelle des deux dérivées il s’agit. 
9. Théorème, — Soit f(x) une fonction de « ayant 
une dérivée à variation bornée dans un intervalle (a, b), — 
qui peut aussi s'étendre à l'infini, — et soit X un point fixe 
de cet intervalle; la fonction 
f(x) — f(x) 
10 ae 
CE 1; 
est aussi à variation bornée dans l'intervalle (a, b) et sa 
variation totale dans cet intervalle ne surpasse pas la varia- 
tion totale V de f'(x) DANS L'INTÉRIEUR du méme intervalle. 
Soit f'(«) la dérivée (par exemple à droite) qui est 
