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REMARQUE. — Dans les applications que nous aurons à 
faire de ce lemme, il arrivera que (x) est une fonction 
continue de « et d’un paramètre x, ou le produit d’une 
fonction f(x), satisfaisant aux conditions de l’énoncé, par 
une fonction « («, x) uniformément continue de x et de x. 
Il est alors clair que les deux sommes accentuées tendent 
uniformément vers leur limite, et la somme considérée 
dans l’énoncé du lemme tend uniformément vers O avec h. 
42. Lemme HI. — Soit wo(x) une fonction continue, 
ayant un nombre dérivé borné et intégrable (au sens de 
Riemann) dans l'intervalle (a, b); 
Considérons la somme | 
Ÿ(— 1} (x) 
et soit r l’indice du plus grand ay; qui est < a ; cette somme 
aura pour valeur asymptotique quand h tend vers 0 : 
(a) — pb) 
CE) ei du: 
si le nombre des termes est pair; 
= g(a) + ?(b) 
Ft 9 
, 
si le nombre des termes est impair. 
Plus généralement, ce lemme subsiste, encore que la con- 
dition relative au nombre dérivé vienne à manquer en un 
nombre limité de points de l'intervalle (a, b), — par exemple 
au point a, — pourvu que la fonction + (x) soit continue et 
à variation bornée dans cet intervalle. 
