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Supposons, pour commencer, le nombre dérivé borné 
et intégrable dans tout l'intervalle. Si r est pair, la 
somme commence par un terme négatif, et si, de plus, 
le nombre des termes est pair, elle peut s’écrire 
b 
> rte) FT ©] , 
Désignons, en abrégé, par +’ le nombre dérivé; et 
soit 2; une valeur moyenne de + dans l'intervalle 
(tx, to + 1). La somme précédente peut s’écrire 
b b 
DEP = FD . 2h 
quand À tend vers O, cette somme tend vers 
LE __ ?(b) — ya) 
 f: (æ)da —= ox 
et, dans ce cas, le théorème est établi. 
Si le nombre des termes était impair (r restant pair), 
il y aurait un dernier terme négatif à ajouter qui tend 
vers — ®(b). La limite serait 
e(a) + #(b) 
2 
Enfin, si r est impair, la somme commence par un 
terme positif et les résultats changent de signe. 
Étendons maintenant la démonstration au cas où la 
condition relative au nombre dérivé vient à manquer au 
point a. 
Soit e un nombre positif arbitrairement petit. Décom- 
