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et l’expression analogue de — œ à æ — € ont pour 
limite 0. Il suffit évidemment de considérer la première. 
Il n’y a lieu à démonstration que si x + e est < b 
(sinon tous les termes sont nuls). L'expression se réduit 
alors à 
À b 
— S(— 1) 5 (a), 
M ête 
en posant 
x) 
(a) = RER 
X — 
Sa limite est donc nulle en vertu du lemme Ï (n° 41). 
Si æ varie, On remarquera, en outre, que, comme 
4 : (x — a) est une fonction uniformément continue tant 
que a est > x + e, la convergence de l’expression con- 
sidérée vers 0 sera uniforme. 
16. Lemme. — Quelque petit que soit le nombre 
positif fixe &, on a, m tendant vers l'infini, 
sin mr (— 1) 
4 = lim 
M  ;-eX — a, 
et la convergence est uniforme si x varie. 
En effet, en se rappelant le développement de 1 : sin x 
en série de fractions, on peut écrire 
sin mx << (— 1) 
m 2 Pre 
Tout revient donc à montrer que les deux séries négli- 
gées, dont il suffit de considérer l’une 
sin mx Ÿ (— 1) 
m ze À — 0% 
tendent uniformément vers O quand m tend vers l'infini. 
