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elle se met sous la forme 
À x+e 
m : 2 TA 1)" # (ax), 
la fonction (a) étant bornée et intégrable. 
48. Théorème LIT. — Quand m tend vers l'infini, 
F(x) a pour limite f(x) au point x, si f(x) est continue en 
ce point et à variation bornée dans l'intervalle si petit qu’il 
soit (X — €, X + €). 
Reportons-nous à la première équation de la re 
tration précédente. Il faut montrer encore que la limite 
est nulle au second membre. Il faut donc établir que 
l'expression 
sin mx tr (tx) 
Ve Eee PACE D imp 
x on y, 
et l'expression analogue étendue de x — € à x ont pour 
limite O. Il suffit de considérer la première. Comme 
d’ailleurs on peut supposer e arbitrairement petit, il suffit 
d'établir que S est aussi petit qu’on veut avec e, quel que 
soit m. | 
La fonction f à variation bornée est la différence de 
deux fonctions non décroissantes et continues aux mêmes 
points que f(n° 5, 4°). Comme la démonstration, suppo- 
sée faite pour deux fonctions f, et fo, S'appliquera à leur 
différence, nous pouvons admettre tout de suite que 
la fonction considérée f(x) n'est jamais décroissante. 
Décomposons alors S comme il suit : 
CADRES ay le + €) — (a) 
GUN X — à 
sin MX  (—1) 
[f(x + €) — f{x)] Ÿ - 
