( 342) 
Chacune de ces deux sommes È est à termes de signes 
alternés et décroissants : elles sont donc respectivement 
égales à une fraction de leur premier terme. Donc chacun 
des deux termes dans lesquels nous venons de décom- 
poser $ a sa valeur absolue inférieure à celle de l’expres- 
sion 
sin mx 1 
[F(æ& +- €) — f(x)] 
m DCE 
et, par conséquent, inférieure à 
f(x LA Ee) — f(x), 
car 
sinmx 1! sin M(X — 3) 
M L— «y Mm(x — a;) 
Donc S est aussi petit que l’on veut avec & quel que soit 
m, Car, f(x) étant continue au point x, f(x + €) — f(x) 
tend vers O avec €. 
49. Théorème IV. — Sila fonction f(x) est continue 
et à variation bornée dans l'intervalle (a, b) et s’annule, de 
plus, aux deux limites a et b, la fonction F(x) convergera 
uniformément vers f(x), pour toutes les valeurs de x de 
— 0 à + ©, quand m tendra vers l’infini. 
En effet, f(x), qui est supposée nulle hors de (a, b), est 
alors une fonction uniformément continue pour toutes 
les valeurs de x. Dans ce cas, les expressions dont nous 
avons démontré que la limite est nulle dans le numéro 
précédent, convergent uniformément vers cette limite, ce 
qui prouve le théorème. 
REMARQUE. — Si f(x) est continue et à variation bornée 
