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dans l'intervalle (a, b), mais ne s’annule pas aux limites 
a et b, la convergence de F(x) restera uniforme dans 
tout intervalle ne contenant ni a ni b. Mais cette unifor- 
mité disparaîtra aux environs des points a et b (qui sont 
des points de discontinuité pour f(x) considérée comme 
nulle hors de l'intervalle ab). 
Remarquons encore que, quel que soit f(x) dans 
l'intervalle (a, b), la fonction f(x) étant supposée nulle 
hors de cet intervalle, la fonction F(x) converge vers 0 en 
tout point x extérieur à l'intervalle (a, b), et la conver- 
gence est uniforme si æ varie sans tendre ni vers a ni 
vers b. 
Enfin, plus généralement encore, F(x) convergera 
uniformément vers f(x) dans tout intervalle intérieur à 
un autre dans lequel f(x) est continue et à variation 
bornée. 
20. Rapidité de convergence de F{xz. — 
La rapidité plus ou moins grande avec laquelle F(x) 
converge vers f(x) quand m croît, tient à la nature de 
f(x). On ne peut obtenir de résultat simple et pratique 
qu’à la condition d'introduire des hypothèses plus parti- 
culières. À ce point de vue, 1l convient de considérer les 
fonctions dont la dérivée est à variation bornée (n° 6). 
Le cas où f(x) est l’ordonnée d’une ligne polygonale 
rentre dans cette hypothèse. Pour ces fonctions-là, on 
peut énoncer le théorème suivant : 
21. Théorème V. — Soit f(x) une fonction continue 
dans l'intervalle (a, b) et qui s’annule aux deux limites 
a et b. Supposons qu’elle ait une dérivée à variation bornée, 
et que la variation totale de cette dérivée DANS L'INTÉRIEUR 
