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et F(x) ne peut avoir qu'un nombre limité de valeurs- 
limites distinctes quand m tend vers l'infini. 
Au contraire, si x est incommensurable avec +, £ peut 
tendre vers n'importe quelle valeur entre O0 et 1, L(E£) 
également. On peut done, en faisant tendre convenable- 
ment m vers l'infini, assigner à F(x) telle valeur-limite 
que l’on veut entre f(x — 0) et f(x + 0). 
Enfin, on peut encore remarquer que la formule 
asymptotique trouvée assigne une influence prépondé- 
rante aux valeurs de f(x) du côté du point «z le plus rap- 
proché du point +, ce qui paraîtra assez naturel. 
S 4 — Étude de la somme 
SL Se pe FC), 
PES LUN, 
28. Hypothèses sur f(x). — Il est nécessaire de 
passer par l’étude de cette somme S pour trouver la 
valeur asymptotique de la dérivée de F(x). 
Nous supposerons, comme dans tout ce qui précède, 
que f(x) s’annule en dehors de l'intervalle (a, b). Mais 
nous ajouterons des hypothèses spéciales : 
4° La fonction f(x) est continue dans l'intervalle (a, b) 
et s’annule aux deux limites a et b. Cette dernière condi- 
tion est évidemment nécessaire pour que la fonction soit 
continue pour toutes les valeurs de x de — œ à + æ; 
2 La fonction f(x) a une dérivée à variation bornée 
(n° 6) dans l'intervalle (a, b). Cette dérivée, étant nulle 
hors de (a, b), sera donc encore à variation bornée dans 
l'intervalle de — æ à + oc. 
Il y a deux cas à distinguer dans la détermination de 
